Κυριακή, 23 Αυγούστου 2009

Θεωρία Παιγνίων (Και αν όλοι πάμε για την ξανθιά;)

Με αφορμή ένα άρθρο του "+plus magazine" και μια ταινία "A Beautiful mind"

Μια σύγχρονη μαθηματική θεωρία μπορεί να αναλύσει κάθε είδος αναμέτρησης, από την ντάμα και το σκάκι μέχρι τον «τζόγο» το φλερτ ή έναν πυρηνικό πόλεμο, και να προβλέψει τον νικητή.

Ο Τζον Νας, τη δεκαετία του ’50, έκανε κάτι παρόμοιο δημιουργώντας ένα νέο μαθηματικό πεδίο που ονομάστηκε «θεωρία παιγνίων»: παρατήρησε πώς συμπεριφέρονται οι

άνθρωποι σε διάφορες καταστάσεις, έφτιαξε ένα απλοποιημένο σχήμα των σχέσεων και των ενεργειών τους και επεξεργάστηκε κάποιες εξισώσεις που τις περιέγραφαν. Το αποτέλεσμα δεν ήταν βέβαια ο μαθηματικός τύπος των ανθρώπινων σχέσεων, όμως αποδείχτηκε αρκετά σημαντικό ώστε να του χαρίσει το νόμπελ οικονομίας το 1994.

«Αν παίζουν δύο, συμφέρει να μπλοφάρεις μόνο όταν έχεις τα χειρότερα χαρτιά, όχι όταν έχεις μέτρια». Αυτός ο κανόνας αναφέρεται στο βιβλίο Theory of Games and Economic Behaviour (1944) του μαθηματικού Τζον φον Νόιμαν και του οικονομολόγου Όσκαρ Μόργκενστερν, που συγκαταλέγονται τους θεμελιωτές της θεωρίας παιγνίων.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μείνει μόνο δύο παίκτες. Ο μοναδικός τρόπος για να κερδίσω ενώ έχω τα χειρότερα χαρτιά είναι να μπλοφάρω. Αν περιμένω την κίνηση του αντίπαλου, θα χάσω, είτε αυτός ποντάρει είτε όχι.

Τον Φον Νόιμαν τον ενδιέφερε το πόκερ μόνο ως σημείο αφετηρίας για μια θεωρία που θα εξηγούσε κάθε είδος ανθρώπινης σχέσης, από την οικονομία ως τις σχέσεις των ζευγαριών. «Η ζωή είναι γεμάτη μπλόφες», υποστήριζε, «γεμάτη μικρές τακτικές παραπλάνησης: αυτό αποκρυπτογραφούν τα παιχνίδια της θεωρίας μου». Στόχος ομολογουμένως πολύ φιλόδοξος, ακόμα και γι’ αυτόν τον εκκεντρικό επιστήμονα που, όπως λέγεται, κατάφερνε να απομνημονεύσει μια σελίδα του τηλεφωνικού καταλόγου μέσα σε λίγα λεπτά. Όμως πολλά συμπεράσματα του Φον Νόιμαν ισχύουν ακόμα σε μεγάλο βαθμό, παρ’ όλο που κάποια οδήγησαν σε παράδοξες προτάσεις. Για παράδειγμα, μετά το Β΄ Παγκόσμιο πόλεμο υπήρχε μεγάλη ένταση ανάμεσα στην ΕΣΣΔ και τις ΗΠΑ. Βασισμένος στη θεωρία παιγνίων, ο Φον Νόιμαν προέβλεψε ότι, όταν η Σοβιετική Ένωση κατασκεύαζε την ατομική βόμβα, θα ξεκινούσε ένας φρενήρης συναγωνισμός πυρηνικών εξοπλισμών. Για να αποφευχθεί αυτό το αδιέξοδο, ο Φον Νόιμαν πρότεινε μια δραστική λύση: να βομβαρδιστεί με πυρηνικά η ΕΣΣΔ για προληπτικούς λόγους. Ευτυχώς δεν εισακούστηκε

Από αυτό το επεισόδιο μπορεί να δημιουργηθεί η εντύπωση ότι Φον Νόιμαν απέκλειε τη δυνατότητα συνεργασίας. Ωστόσο ο ίδιος έθεσε τη συνεργασία στους ακρογωνιαίους λίθους της θεωρίας του. Γνώριζε, πράγματι, ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η συνεργασία είναι επωφελής. [1]

Υποθέστε ότι είστε ένας από μια ομάδα αγοριών που διασκεδάζουν σε ένα καφέ. Απέναντί σας, στο άλλο άκρο του καφέ υπάρχει μια ομάδα όμορφων κοριτσιών, όλες εκτός από μια είναι μελαχρινές.

Το μόνο ξανθό κορίτσι στην ομάδα είναι αυτό όλα τα αγόρια θα ήθελαν να πλησιάσουν αρχικά. Θα έπρεπε να λάβετε υπόψη ή όχι πως και τα άλλα αγόρια θα ήθελαν και θα προσπαθούσαν να μιλήσουν στην ξανθιά πρώτα;

Τι γίνεται αν όλοι πάτε για την ξανθιά;

Εάν δεν είστε βέβαιοι για το τι πρέπει να κάνετε, τα μαθηματικά μπορούν να σας παρουσιάσουν τον καλύτερο τρόπο για να προχωρήσετε.

Αυτή η κατάσταση μπορεί να είναι γνωστή σε σας. Είναι μια έκδοση μιας σκηνής της ταινίας «A beautiful mind- Ένας Υπέροχος Άνθρωπος» (2001) με το Russell Crowe στο ρόλο του μαθηματικού John Nash.

Η κατάσταση στο καφέ είναι ένα παράδειγμα ενός παιχνιδιού: τα αγόρια είναι οι παίκτες και οι ενέργειες που μπορούν να επιλέξουν (είτε «πηγαίνετε για την ξανθιά» ή «πηγαίνετε για μια μελαχρινή») καλούνται στρατηγικές. Κάθε αγόρι πρέπει να αποφασίσει τι να κάνει χωρίς να έχει γνώση τι θα κάνουν οι άλλοι. Υπάρχει η προφανής στρατηγική αλληλεπίδραση μεταξύ των παικτών. Η θεωρία παιγνίων δίνει στους παίκτες τις συστάσεις σχετικά με τη βέλτιστη στρατηγική τους και παρέχει σε έναν εξωτερικό παρατηρητή μια πρόβλεψη της έκβασης της αλληλεπίδρασης

Στην ταινία ένας χαρακτήρας προτείνει ότι κάθε αγόρι πρέπει να κινηθεί ανεξάρτητα μην λαμβάνοντας υπόψη τους άλλους, υπενθυμίζοντας το διάσημο γνωμικό του Adam Smith (1723-1790) «σε ανταγωνισμό, η μεμονωμένη φιλοδοξία εξυπηρετεί το κοινό καλό». Αυτό το μάθημα του πατέρα των σύγχρονων οικονομικών προτείνει ότι θα ήταν καλύτερο για την ομάδα εάν όλα τα αγόρια πήγαιναν για την ξανθιά.

Μετά από μια έκλαμψη της στιγμής, ο χαρακτήρας του Nash/Crowe υποστηρίζει ότι η θεωρία του Adam Smith χρειάζεται αναθεώρηση. Το καλύτερο συλλογικό αποτέλεσμα, λέει, δεν προέρχεται από κάθε άτομο που ακολουθεί το ενδιαφέρον του, αλλά μάλλον όταν κάθε αγόρι πλησιάσει μια μελαχρινή. Αυτό θα παρήγε ένα καλύτερο αποτέλεσμα για την ομάδα.

Ολοκλήρωση της ανάλυσης Nash/Crowe

Τα επιχειρήματα του Nash/Crowe είναι τα εξής: «Εάν προσπαθήσετε όλοι να κατακτήσετε την ξανθιά, θα ακυρώσετε αμοιβαία τις προσπάθειές σας και κανένας σας δεν πρόκειται να την κατακτήσει. Στη συνέχεια, όταν θα συμβιβαστείτε με τις μελαχρινές, εκείνες θα σας απορρίψουν, γιατί καμιά γυναίκα δεν θέλει να αποτελεί τη δεύτερη επιλογή.

Αλλά τι θα συμβεί αν κανένας δε πάει για την ξανθιά; Δε μπαίνει ο ένας στο δρόμο του άλλου και δεν προσβάλλετε τα άλλα κορίτσια. Αυτός είναι ο μόνος τρόπος για να κερδίσετε.». Αυτή η ιστορία, παρ’ όλο που πλάστηκε στο μυαλό των σεναριογράφων της ταινίας και όχι του ίδιου του Nash, μας διδάσκει ότι το καλύτερο σύστημα δεν είναι πάντα αυτό στο οποίο καθένας αγωνίζεται για το ατομικό συμφέρον του. Στην ουσία ο Nash/Crowe σιωπηρά συστήνει το να στοχεύσει κάποιος σε μια μελαχρινή είναι σίγουρα πιο επιτυχές και το να κατακτήσει κάποιος μια μελαχρινή είναι καλύτερο από μην κατακτήσει κανένα κορίτσι.

Επίσης γίνεται κατανοητό ότι οποιοσδήποτε πλησιάσει την ξανθιά θα την κατακτήσει εφ' όσον είναι ο μοναδικός. Τέλος, ο Nash/Crowe υποθέτει ότι εάν ξεχωριστοί τύποι πλησιάσουν την ξανθιά ταυτόχρονα, θα καταλήξουν χωρίς κανένα κορίτσι.

Δηλαδή για να κερδίσουν όλοι το σύνθημα είναι «Κανένας για την ξανθιά»; Όχι, δεν είναι ο μόνος τρόπος που όλα τα αγόρια κερδίζουν. Όλοι κερδίζουν επίσης σε οποιαδήποτε διαμόρφωση των στρατηγικών «ένας (πηγαίνει) για την ξανθιά» (και οι άλλοι για μια μελαχρινή). Επιπλέον, «ένας για την ξανθιά» είναι καλύτερη στρατηγική για την ομάδα από την πρόταση Nash/Crowe. «Καλύτερα» σημαίνει ότι καμία αλλαγή των στρατηγικών δεν θα καταστήσει κάποιον σε χειρότερη κατάσταση, για να καταστήσει κάποιον άλλο σε καλύτερη κατάσταση. Αυτή η σημαντική πρόταση είναι γνωστή ως κριτήριο του Παρέτου, από το Ιταλό οικονομολόγο Vilfredo Παρέτο (1848-1923).

Ενώ «ένας για την ξανθιά» είναι το βέλτιστο κατά Παρέτο, η διαμόρφωση Nash/Crowe δεν είναι, δεδομένου ότι καθένας θα είναι καλύτερα αν κατακτήσει την ξανθιά ενώ για τους υπόλοιπους δεν θα είναι χειρότερα. Έτσι «το καλύτερο για την ομάδα» που υπόσχονται ο Nash/Crowe προέρχεται από στρατηγικές επιλογές που διαφέρουν από την προτεινόμενη τακτική τους.

Τα πράγματα γίνονται πιο ενδιαφέροντα τώρα.

Ποια είναι μια εύλογη αναμενόμενη έκβαση;

Συγκρίνετε δύο κύριους υποψηφίους μας. Η στρατηγική «κανένας για την ξανθιά», στερείται δεδομένου ότι για τον καθένα θα ήταν καλύτερα με την επιλογή της ξανθιάς, υπό τον όρο ότι όλοι οι υπόλοιποι πηγαίνουν ούτως ή άλλως για μια μελαχρινή. Εντούτοις, «ένας για την ξανθιά» δεν πάσχει από αυτήν την ασυνέπεια: κανένας δεν μπορεί να βελτιωθεί με την παρέκκλιση από τη στρατηγική του. Πράγματι, είτε ο τύπος που πηγαίνει για την ξανθιά, είτε καθένας που στοχεύει σε μια μελαχρινή θα ήταν σε χειρότερη μοίρα με το να αλλάξουν τη στρατηγική τους μονομερώς.

Αυτή είναι μια λύση ισορροπίας του Nash [4], όπως προτείνεται από το Nash το 1950. Προκύπτει ως φυσική πρόβλεψη για μια κοινωνική κατάσταση, στις περιπτώσεις ότι οι φορείς καθοδηγούνται από το ενδιαφέρον τους.

Η θεωρία συστήνει ότι ένας και μόνο ένας τύπος πρέπει να πλησιάσει το ξανθό κορίτσι. Αυτό είναι αποδοτικό και από μια (κοινωνική) προοπτική του Παρέτου και από (μεμονωμένη) άποψη του Nash . Στη συνέχεια, ο Smith παίρνει το προβάδισμα δεδομένου ότι «ένας για την ξανθιά» είναι το αποδοτικό του Παρέτο (ένα καλύτερο αποτέλεσμα για την ομάδα) και μια ισορροπία του Nash (καθένας κάνει το καλύτερο για τον εαυτό του).

Μήπως είναι ο George Clooney τριγύρω;

Καλώς! Εδώ είναι η λύση Nash-Παρέτο για την ομάδα σας: ένας από τους τύπους κουβεντιάζει με την ξανθιά, οι υπόλοιποι πηγαίνετε για τις μελαχρινές. Το ξέρετε και το ξέρουν όλοι. Αυτό είναι. Τελειώσαμε; Όχι, βέβαια. Υπάρχουν τόσο πολλές πιθανές λύσεις όσες και τα αγόρια στην ομάδα σας. Έτσι, λοιπόν, ποιος είναι αυτός που θα πάει για την ξανθιά; Καλά, εδώ υπάρχει μια λύση: προσέξτε την ομάδα σας για ένα δευτερόλεπτο, είναι ο George Clooney εκεί; Σε αυτή την περίπτωση, είναι αυτός που παίρνει την ξανθιά. Γιατί; Καλά, είναι προφανές γιατί: είναι ο τύπος των γυναικών. Αυτό είναι περισσότερο βάσιμο παρόλο που δε φαίνεται από την αρχή. Η λύση «ο Clooney πηγαίνει για την ξανθιά» είναι αυτό που ο Thomas C. Schelling, τιμημένος με το βραβείο Νόμπελ του 2005 στα οικονομικά, ονόμασε σημείο εστίασης. Ένα σημείο εστίασης είναι μια ισορροπία του Nash που προκύπτει αυθόρμητα, με έναν αυτονόητο τρόπο. Καμία ερώτηση για το αυτονόητο στην υπόθεση Clooney.

Κοτόπουλα!
Μέχρι τώρα όλα καλά, εκτός από ένα πράγμα: Ο Clooney δεν τα κατάφερε και δεν είναι στο καφέ σήμερα. Έτσι, υποθέστε ότι δεν υπάρχει κανένας στην ομάδα για να διαδραματίσει το ρόλο Clooney. Επιπλέον, υποθέστε ότι δεν υπάρχει οποιαδήποτε σημαντική διαφορά μεταξύ των υποψηφίων. Δεν υπάρχει κανένας Clooney αλλά κλώνοι (ίσως κλώνοι του Clooney!). Οπότε; Έχουμε ακόμα τόσο πολλές ισορροπίες του Nash όσες και τα αγόρια, αλλά κανένα σημείο εστίασης τώρα. Και τώρα είναι η σειρά της ψυχολογίας. Όλοι συμφωνούν ότι η συμβιβαστικότερη λύση είναι «κανένας για την ξανθιά». Αλλά αυτό δεν είναι μια ισορροπία του Nash, έτσι ο καθένας μπαίνει στον πειρασμό για να αλλάξει τη στρατηγική του και να πάει τελικά για την ξανθιά. Έτσι αρχίζει το δράμα. Εάν ο καθένας μεταπηδά στην επιλογή για την ξανθιά, η τελική έκβαση είναι η χειρότερη πιθανή: κανένα κορίτσι σε κανένα. Αυτή η έκβαση του παιχνιδιού μετατρέπεται σε έκδοση του κοτόπουλου με ν-παίκτες, ένα πρωτότυπο μοντέλο για τη σύγκρουση, που χρησιμοποιήθηκε από τον Bertrand Russell (1872-1970) ως παραβολή για τον πυρηνικό γρίφο στην εποχή ψυχρού πολέμου. Το κοτόπουλο εκθέτει αισθητά την επικίνδυνη ένταση μεταξύ του μεμονωμένου συμφέροντος και της συλλογικής ευημερίας στις καταστάσεις όπου οι δυνάμεις μεταξύ των υποψηφίων είναι παρόμοιες. Ελλείψει ενός ισχυρού υποψηφίου, η μεμονωμένη φιλοδοξία μπορεί να οδηγήσει στο κοινό κακό!


Να πάει κανείς για την ξανθιά ή να μην πάει ; Ιδού η απορία

Δεν έχουμε μάθει και πολλά, μπορεί να σκεφτείτε. Δεν έχετε μια ευδιάκριτη ένδειξη στο πώς να παίξετε το παιχνίδι στο καφέ. Καλά, όχι στην πραγματικότητα. Ηχηρά επιχειρήματα συστήνουν τη διαφορετική στρατηγική για διάφορα σενάρια. Τώρα βοηθήστε τον εαυτό σας και επιλέξτε αυτό που σας ταιριάζει καλύτερα. Η θεωρία του παιχνιδιού λειτουργεί συνήθως επειδή οι άνθρωποι εκπαιδεύονται από τα κοινωνικά περιβάλλοντά τους για να συμπεριφερθούν σύμφωνα με τους κανόνες που αντιστοιχούν στα σημεία εστίασης Nash-Schelling. Ελλείψει ενός σημείου εστίασης, οι απλοί μηχανισμοί αλληλεπίδρασης όπως αυτό του κοτόπουλου καθιστούν τις κοινωνικές καταστάσεις λιγότερο προβλέψιμες. Η εμφάνιση πολλών ισορροπιών του Nash - συνεπάγεται τη δημιουργία δίλημματος και το αποτέλσμα της αλληλεπίδρασης περιλαμβάνει έναν σοβαρό κίνδυνο κοινωνικής καταστροφής. Η θεωρία παιγνίου «game theory» αφορά όλες τις κοινωνικές καταστάσεις. Δεν είναι ή άσπρο ή μαύρο. Σαν αντικείμενα της επιστημονικής έρευνας, τα ανθρώπινα όντα είναι σύνθετες πραγματικότητες. Κατά την αλληλεπίδραση με τους άλλους, η πολυπλοκότητα αναδύεται. Η πρόβλεψη της συμπεριφοράς της ομάδας μας στο καφέ μπορεί να είναι απέραντα πιο σύνθετη από το να προβλέψουμε την τροχιά ενός δορυφόρου. Για αυτό η μαθηματικοποίηση των Κοινωνικών Επιστημών πήρε τόσο πολύ και γι’ αυτό η θεωρία παιγνίων είναι τόσο επαναστατική. Σίγουρα ήδη έχετε τις ενδείξεις για να παίξετε το παιχνίδι στο καφέ ανάλογα με τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της ομάδας σας. Οι προτιμήσεις σας ταιριάζουν μήπως με την ανάλυση Nash/Crowe; Υπάρχει μήπως, ένας Clooney μέσα στην ομάδα σας ; Είστε όλοι όμοιοι; Στη σκηνή της ταινίας , είναι προφανές ότι η ξανθιά δεν μπορεί να πάρει τα μάτια της από τον Nash/Crowe. Έτσι, εδώ έχουμε ένα μάθημα σημείου εστίασης τελικά: σε οποιοδήποτε ταινία του Hollywood, ο καλύτερος παίρνει το κορίτσι![3]
Διαβάστε επίσης και το ενδιαφέρον άρθρο
με τίτλο "The Carol syndrome".

Πηγές - Σημειώσεις:


[1]Περιοδικό Focus

[2] Το κατά Παρέτο κριτήριο είναι εκείνο κατά το οποίο, μία μεταβολή στην τιμή ή στην ποσότητα βελτιώνει τη θέση κάποιου χωρίς όμως παράλληλα να χειροτερεύει τη θέση κάποιου άλλου. Με λίγα λόγια το κατά Παρέτο κριτήριο μας βεβαιώνει ότι έχουμε βελτίωση της κοινωνικής ευημερίας στο σύνολό της αφού έχουμε την καλυτέρευση ενός ατόμου ή μιας ομάδας ατόμων χωρίς να χειροτερεύει η θέση κανενός άλλου.

Ο όρος δημιουργήθηκε από τον Ιταλό οικονομολόγο Βιλφρέντο Παρέτο και χρησιμοποιείται συστηματικά από τότε. Έτσι, οι περισσότεροι οικονομολόγοι σήμερα όταν λένε αποτελεσματικός εννοούν κατά Παρέτο.

Η Παρετιανή αποτελεσματικότητα, θεωρείται συνήθως ότι είναι μια απαραίτητη προϋπόθεση όταν μελετάμε την ευημερία που φέρνει ένας συγκεκριμένος μηχανισμός. Αυτό, γιατί προφανώς και ανεξαρτήτως ιδεολογίας, είναι καλό πρώτα να μεγιστοποιείται η πίτα, πριν καθορίσουμε πώς θα μοιραστεί. Ένας μηχανισμός που αποτυγχάνει να την μεγιστοποιήσει είναι λοιπόν υποδεέστερος ενός μηχανισμού που προσφέρει το μέγιστο αποτέλεσμα με τις δεδομένες πρώτες ύλες.

[3] plus magazine

[4] Ο Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash Jr.) (γεν. 1928) είναι ένας Αμερικάνος μαθηματικός και οικονομολόγος. Τιμήθηκε το 1994 με το Νόμπελ Οικονομικών, μαζί με τους Ρ. Ζέλτεν και Τζ. Χαρσάνυι για τη συμβολή του στη θεωρία παιγνίων. Συγκεκριμένα, δημιούργησε την έννοια της ισορροπίας για παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος, ισορροπία που πήρε το όνομά του ως ισορροπία Νας. Η έννοια της ισορροπίας κατά Νας είναι πολύ σπουδαία, ιδιαιτέρως στις μέρες μας, και έχει ευρύτατες εφαρμογές σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστήριότητας, είτε σε φυσικά συστήματα, όπως η Βιολογία. Ο Νας υπέφερε από σχιζοφρένεια από τα 29 του, την οποία ξεπέρασε μετά από τριάντα χρόνια. wikipedia

[5] imdb

[6] game theory


Τέλος μπορείτε να παρακολουθήσετε τη σκηνή από την ταινία στο παρακάτω video.



video

1 σχόλιο:

FHGT είπε...

http://fhgttn.blogspot.com/view/classic