Η συμμετρία μιας πιτσιλιάς

Κατά καιρούς έχω δει εικόνες απόλυτα συμμετρικές, είτε σε φύλλα, είτε σε fractals, αλλά δε μπορούσα να φανταστώ τη συμμετρία που κρύβεται πίσω από μια πιτσιλιά. Ναι, καλά διαβάσατε. Μια πιτσιλιά. Μια σταγόνα νερού πέφτει σε νερό και σχηματίζεται μια πιτσιλιά συμμετρική. Αν δε το πιστεύετε, διαβάστε το παρακάτω κείμενο από το βιβλίο των Ian Stewart- Martin Golubisky, "Είναι ο Θεός Γεωμέτρης;", από τις εκδόσεις Τραυλός. Στη συνέχεια δείτε τα video και τις φωτογραφίες.

Το σχήμα μιας Πιτσιλιάς

Το αγαπημένο μας ιδιόρρυθμο επιστημονικό βιβλίο είναι το Περί Ανα­πτύξεως και Μορφής (On Growth and Form) του d' Arcy Thompson. Av δε διαβάσατε ποτέ αυτή την προκλητική και διεισδυτική διατριβή, βρεί­τε κάπου ένα αντίτυπο —αλλά προσέξτε, ένα μέρος της γοητείας του είναι ξεπερασμένης μόδας, άρα μην το παίρνετε πάρα πολύ σοβαρά. Ο Thompson ήταν ένας πρωτοπόρος της ιδέας ότι υπάρχουν μαθηματικά χαρακτηριστικά στις βιολογικές μορφές. Στην πρώτη κιόλας σελίδα του βιβλίου του δεσπόζει μια θαυμάσια και συναρπαστική εικόνα μιας σταγόνας από γάλα που πέφτει πάνω στην επιφάνεια μιας κούπας γε­μάτης από το ίδιο υγρό. Το πιτσίλισμα έχει ακινητοποιηθεί με φωτο-γράφιση υψηλής ταχύτητας, ώστε εμείς να το παρατηρούμε με την η­συχία μας. Όταν μια σταγόνα της βροχής πέφτει σε μια λιμνούλα με νερό ή μια σταγόνα μελάνης πέφτει πάνω σε χαρτί, θα πρέπει να κά­νουν κάτι παρόμοιο. Έχετε ποτέ αναρωτηθεί τι σχήμα έχει μια πιτσι­λιά;

Μοιάζει με στέμμα.

Από το σημείο της πρόσκρουσης αναπτύσσεται ένας επίπεδος, κυκλικός δακτύλιος, εκπληκτικά λεπτός, που μεγαλώνει με χάρη προς τα έξω. Όμως ο δακτύλιος δεν παραμένει κυκλικός: διασπάται σε 24 μυτερές εξοχές (Εικόνα). Γιατί διασπάται; Γιατί 24; Είναι δύο καλές ερωτήσεις. Οι εξοχές ισαπέχουν (σχεδόν) μεταξύ τους. Γιατί; Άλλη μια καλή ερώτηση. Για την ώρα συσσωρεύουμε ερωτήσεις. Στο τέλος θα επιχειρήσουμε ν' απαντήσουμε σε μερικές απ' αυτές. Οι εξοχές κα­ταλήγουν σε μια μυτερή αιχμή. Οι περισσότερες έχουν μόλις αποβά­λει ένα μικροσκοπικό στρογγυλό σταγονίδιο από γάλα (γιατί;), και οι υπόλοιπες είναι έτοιμες να κάνουν το ίδιο. Μπορούμε να δούμε τις τροχιές αυτών των εξοχών στον τρόπο με τον οποίο πετάγεται το νε­ρό όταν οι σταγόνες της βροχής πέφτουν μέσα σε μια λακκούβα με νερό. Και ξέρουμε ότι οι κηλίδες από μελάνι είναι πάντοτε ακιδωτές, έτσι τις ζωγραφίζουν οι σκιτσογράφοι κινουμένων σχεδίων. Αν κάποι­ος μας δείξει μια κυκλική μελανιά δεν πρόκειται να την αναγνωρί­σουμε, θα νομίσουμε πως είναι απλά ένας μαύρος κύκλος. Αυτό είναι περίεργο, αξιοσημείωτα περίεργο, διότι η σταγόνα από μελάνι που προκαλεί την κηλίδα είναι (σχεδόν τέλεια) σφαιρική και το χαρτί είναι επίπεδο. Τότε τι είναι αυτό που διακρίνει τις κατευθύν­σεις σ' αυτές που καταλή­γουν σε εξοχές και σ' αυτές που δεν καταλήγουν;

Ας εστιάσουμε την προ­σοχή μας στη συμμετρία της πιτσιλιάς στην εικόνα του α" Arcy Thompson. Δεν είναι τέ­λεια, αλλά αυτό οφείλεται πιθανότατα σε ελαφρές ατέ­λειες στο αρχικό σχήμα της σταγόνας, ή στη γωνία με την οποία έπεσε. Ισως ταλα­ντευόταν λιγάκι, ίσως το γά­λα μέσα στην κούπα δεν ή­ταν απολύτως ακίνητο. Αλλά το κυρίαρχο χαρακτηριστικό, το ακιδωτό στέμμα, δε μοιά­ζει να οφείλεται σε τέτοιες ατέλειες. Έχουμε την αίσθη­ση ότι μια τέλεια σφαιρική σταγόνα θα έδινε απλά ένα τέλειο (και πιθανότατα 24 ακίδων) στέμμα! Ας υποθέσουμε πως αυτό αληθεύει —πράγματι αληθεύει στα μαθημα­τικά μοντέλα αυτής της διαδικασίας— και ας προχωρήσουμε στα πα­ράδοξα ακόλουθα του.

Ας δούμε όλη την ακολουθία των γεγονότων ξεκινώντας ακριβώς πάνω από την κούπα. Ενα ιδανικό σταγονίδιο γάλατος έχει ένα τέλειο κυκλικό περίγραμμα· και καθώς πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω, το περίγραμμα παραμένει κυκλικό. Σ' όλη την πορεία, αυτό που βλέπουμε έχει κυκλική συμμετρία. Αν τώρα αλλάξουμε σκοπιά και φανταστούμε το μάτι μας τοποθετημένο στο κέντρο αυτού του κύκλου να κοιτάζει ο­ριζόντια, τότε δε θα μπορούμε να πούμε προς ποια κατεύθυνση κοιτά­ζει το βλέμμα μας. Το σταγονίδιο φαίνεται πανομοιότυπο προς κάθε ο­ριζόντια κατεύθυνση. Το ίδιο συμβαίνει και με την κούπα, τουλάχιστον αν χρησιμοποιήσουμε μια κυκλική κούπα και η σταγόνα πέσει στο κέ­ντρο της. Ετσι λοιπόν έχουμε ένα αίτιο: το σταγονίδιο που πέφτει. Και το συνολικό σύστημα που αποτελείται από το σταγονίδιο, το γάλα και την κούπα έχει τέλεια κυκλική συμμετρία —φαίνεται ίδιο προς κάθε ο­ριζόντια διεύθυνση.

Τι συμβαίνει όσον αφορά το φαινόμενο—την πιτσιλιά;

Αυτή δεν έχει κυκλική συμμετρία. Αυτή φαίνεται διαφορετική, ανά­λογα με την κατεύθυνση από την οποία την παρατηρούμε. Ας φαντα­στούμε τον εαυτό μας τοποθετημένο έτσι ώστε το κοντινότερο τμήμα της να είναι μια εξοχή· τώρα, αν προχωρήσουμε λίγο, το κοντινότερο τμήμα της θα είναι ένα κενό. Οι δύο όψεις είναι παρόμοιες, αλλά όχι πανομοιότυπες: εκεί που η μια έχει τις εξοχές, η άλλη έχει τα κενά της πιτσιλιάς.

Πού πήγε η συμμετρία;

Αν θέλετε να δείτε απίστευτες φωτογραφίες από σταγόνες και πιτσιλιές κάντε κλικ στη διεύθυνση liquid Sculpture του Martin Waugh.